設(shè){X_n}是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列，期望為μ。根據(jù)大數(shù)法則，對(duì)于任意正數(shù)ε和任意整數(shù)N，都有：```P(|X?_N - μ| > ε) → 0 (N → ∞)```其中X?_N表示樣本平均值，即X?_N = (X_1 + X_2 + ... + X_N) / N。
大數(shù)法則的直觀解釋是，在一個(gè)大量重復(fù)的隨機(jī)過(guò)程中，由于隨機(jī)偏差在一定程度上相互抵消，因此實(shí)際結(jié)果往往會(huì)接近理論預(yù)期。例如，拋擲一枚公平硬幣很多次，正面出現(xiàn)的次數(shù)近似為總次數(shù)的一半。
大數(shù)法則廣泛應(yīng)用于各種領(lǐng)域，例如：- 統(tǒng)計(jì)推斷：樣本平均值是總體期望值的無(wú)偏估計(jì)。- 風(fēng)險(xiǎn)管理：保險(xiǎn)公司根據(jù)大數(shù)法則對(duì)未來(lái)索賠進(jìn)行預(yù)測(cè)。- 質(zhì)量控制：生產(chǎn)過(guò)程中，通過(guò)抽樣檢測(cè)來(lái)推斷總體產(chǎn)品的質(zhì)量。
大數(shù)法則的局限性主要在于：- 獨(dú)立性假設(shè)：大數(shù)法則僅適用于獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。- 無(wú)限樣本：大數(shù)法則要求樣本量趨近于無(wú)窮大，在實(shí)際應(yīng)用中往往無(wú)法實(shí)現(xiàn)。
大數(shù)法則和中心極限定理是概率論中的兩個(gè)重要定理。大數(shù)法則說(shuō)明了樣本平均值在大量重復(fù)試驗(yàn)下趨近于總體期望值的規(guī)律，而中心極限定理則描述了樣本平均值的分布在一定條件下趨近于正態(tài)分布的規(guī)律。
大數(shù)法則在賭博中并不能保證贏錢。由于賭場(chǎng)游戲通常是有利可圖的，這意味著賭場(chǎng)長(zhǎng)期來(lái)看會(huì)贏錢。盡管如此，大數(shù)法則可以幫助賭徒理解長(zhǎng)期結(jié)果的概率，并避免過(guò)度投注或追逐輸?shù)舻腻X。
什么是大數(shù)法則？又稱“大數(shù)定律”或“平均法則”。人們?cè)陂L(zhǎng)期的實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，在隨機(jī)現(xiàn)象的大量重復(fù)中往往出現(xiàn)幾乎必然的規(guī)律，即大數(shù)法則。
此法則的意義是：風(fēng)險(xiǎn)單位數(shù)量愈多，實(shí)際損失的結(jié)果會(huì)愈接近從無(wú)限單位數(shù)量得出的預(yù)期損失可能的結(jié)果。據(jù)此，保險(xiǎn)人就可以比較精確的預(yù)測(cè)危險(xiǎn)，合理的厘定保險(xiǎn)費(fèi)率，使在保險(xiǎn)期限內(nèi)收取的保險(xiǎn)費(fèi)和損失賠償及其它費(fèi)用開支相平衡。
大數(shù)法則是近代保險(xiǎn)業(yè)賴以建立的數(shù)理基礎(chǔ)。保險(xiǎn)公司正是利用在個(gè)別情形下存在的不確定性將在大數(shù)中消失的這種規(guī)則性，來(lái)分析承保標(biāo)的發(fā)生損失的相對(duì)穩(wěn)定性。
按照大數(shù)法則，保險(xiǎn)公司承保的每類標(biāo)的數(shù)目必須足夠大，否則，缺少一定的數(shù)量基礎(chǔ)，就不能產(chǎn)生所需要的數(shù)量規(guī)律。但是，任何一家保險(xiǎn)公司都有它的局限性，即承保的具有同一風(fēng)險(xiǎn)性質(zhì)的單位是有限的，這就需要通過(guò)再保險(xiǎn)來(lái)擴(kuò)大風(fēng)險(xiǎn)單位及風(fēng)險(xiǎn)分散面。