房貸中我們都會遇到等額本金,等額本息貸款這個(gè)問題,貸款方式選擇哪一個(gè)比較好,每個(gè)人的主觀感受都不一樣,我們先從數(shù)學(xué)的角度,來詳細(xì)的推導(dǎo)一下相關(guān)的公式。

首先要明白,一般銀行貸款在放貸之后次月開始讓購房者開始還貸款,銀行每個(gè)月從貸款者卡上扣除的金額都包含兩部分,一部分是一定數(shù)量的本金,一部分是一定數(shù)量的利息。

等額本息定義:等額本息是在還款期內(nèi),每月償還同等數(shù)額的貸款。簡單說把還款期內(nèi)所要還的本金和利息都計(jì)算出來,然后平均數(shù)額到每個(gè)月里面。本金加利息的總和每個(gè)月都相同,銀行每個(gè)月都按照約定時(shí)間從貸款者的銀行卡上扣這個(gè)固定金額的錢。

等額本金定義:等額本金是在還款期內(nèi)把貸款本金總額等分,每月償還同等數(shù)額的本金和剩余貸款在該月所產(chǎn)生的利息。簡單的說就是每個(gè)月銀行從貸款者的卡上扣除的(應(yīng)償還的本金加利息之和)金額都是不一樣的,但是每個(gè)月償還的本金部分都是一樣的。

等額本息相關(guān)的公式

等額本息每期還款公式

推導(dǎo)方法一 光看剩余總本金

第一期還款時(shí)間是貸款放款之日,次月相同之日,所以包含了整個(gè)貸款本金一個(gè)月的利息,每期還款額都為X ,所以第一期還款完成之后剩余本金為:

第一期A(1+P)-X

以此類推,

第二期(1+P)-X=A(1+P)^2-X

第三期{(1+P)-X}(1+P)-X =A(1+P)^3-X

由此可得第n個(gè)月后所欠銀行貸款為

A(1+P)^n–X

這個(gè)也可以采用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證一下,結(jié)論是正確的。

由此可見中括號內(nèi)是一個(gè)首項(xiàng)a1為1,公比q為1+P的等比數(shù)列求和

公比q≠1,所以套用等比數(shù)列求和公式

Sn =a1((q^n) -1)/( q-1),

第n個(gè)月后所欠銀行貸款簡化為A(1+P)^n–X/P

這里要注意: (1+P)^(n-1)是數(shù)列中的n項(xiàng),不要搞錯(cuò)了。

由于還款總期數(shù)為m,也即第m月剛好還完銀行所有貸款,因此有

A(1+P)^m–X/P=0

由此求得

X=AP(1+P)^m/

推導(dǎo)方法二 根據(jù)每月應(yīng)還利息、本金、剩余本金正推

來看另外一種方法,把每個(gè)月的利息,本金,剩余本金都用公式表達(dá)出來。設(shè)貸款額為A,月利率為P,還款月數(shù)為m,每月還款額為X

第一個(gè)月還款的利息AP

第一個(gè)月剩余本金A

第一個(gè)月償還本金X-AP

第二個(gè)月還款的利息

(A-X+AP)P

=AP-XP+AP^2

=AP(1+P)-XP

注意這里,我們要設(shè)法進(jìn)一步因式分解,進(jìn)一步提?。?+P),使用增項(xiàng)法,減去一個(gè)X再加上一個(gè)X得到

= AP(1+P)-XP-X+X,調(diào)整一下X的位置,得到

=AP(1+P)-X-XP+X

=AP(1+P)-X(1+P)+X

=(1+P)(AP-X) +X

第二個(gè)月償還本金

X-

=X-(1+P)(AP-X)–X

=-(1+P)(AP-X)

=(X-AP)(1+P)

第二個(gè)月剩余本金

A-(X-AP)-(X-AP)(1+P)

=A-(X-AP)

第三個(gè)月還款的利息

{A-(X-AP)}P

=P

=AP-(X-AP)(2P+P^2)增項(xiàng)得到

=AP-(X-AP)(2P+P^2)-X+X

=(AP-X)(1+2P+ P^2)+X

=(AP-X)(1+P)^2 +X

第三個(gè)月償還本金

=X-

= -(AP-X)(1+P)^2

=(X-AP)(1+P)^2

第三個(gè)月剩余本金

= A-(X-AP)-(X-AP)(1+P)-(X-AP)(1+P)^2

= A-(X-AP)

由此可以推斷:

第n個(gè)月當(dāng)月還款的利息

(AP-X)+X

第n個(gè)月當(dāng)月還款本金

(X-AP)

第n個(gè)月剩余總本金

A-(X-AP)后面括號是等比數(shù)列求和,(1+P)^( n-1)是數(shù)列的第n項(xiàng)。得到下面的結(jié)果

A-(X-AP) /P

順便驗(yàn)證一下最后一個(gè)月的剩余本金為0即n=m則

A-(X-AP) /P=0

AP=(X-AP)

AP=X- AP

AP+AP = X

X= AP+AP

X= AP{1+ }

最終得到

X=AP(1+P)^m/

與上面方法推導(dǎo)的結(jié)論完全相同。這些結(jié)論都可以用數(shù)學(xué)歸納法來驗(yàn)證。

前n個(gè)月償還的總利息為:

(AP-X)+X+(AP-X)(1+P)+X+(AP-X)(1+P) 2+X+…(AP-X)(1+P) n-1+X

=nX+(AP-X)/P

前n個(gè)月償還的總本金為:

總本金-剩余本金

A- {A-(X-AP) /P}

=(X-AP) /P

等額本金的相關(guān)公式推導(dǎo)就簡單多了

等額本金還款公式

設(shè)貸款總額為A,銀行月利率為P,總期數(shù)為M(個(gè)月),月還款額設(shè)為X,每月還款固定本金為B,

月供本金=貸款總額/總期數(shù) B=A/M

月還款=月供本金+月利息

月利息=(貸款總額-已還本金)×月利率

第一個(gè)月 已還本金=0 月利息=AP

第二個(gè)月 已還本金=B 月利息=(A-B)P

第三個(gè)月 已還本金=2B 月利息=(A-2B)P

第四個(gè)月 已還本金=3B 月利息=(A-3B)P

第n個(gè)月 已還本金=(n-1)B 月利息=P

第n個(gè)月還款額

X=B+P

X= A/M +P

第n個(gè)月月利息=P

支付總利息為:

=AP+(A-B)P+(A-2B)P+…P

= AP+AP-BP+AP-2BP+…AP-(n-1)BP

= AP+AP+…+AP-BP-2BP-…-(n-1)BP

=nAP- BP

后面括號里面是一個(gè)等差數(shù)列,求和得到

= nAP- BP

= {nA-B} P

= {nA- A/M }P

即總利息={貸款總額×n-月供本金×?}×貸款月利率

結(jié)論:

等額本息相關(guān)公式

設(shè)貸款總額為A,銀行月利率為P,總期數(shù)為m(個(gè)月),月還款額設(shè)為X。

每月還款本息總金額X=AP(1+P)^m/

第n個(gè)月當(dāng)月還款的利息=(AP-X)+X

第n個(gè)月當(dāng)月還款本金=(X-AP)

第n個(gè)月剩余總本金=A-(X-AP) /P

前n個(gè)月償還的總利息= nX+(AP-X)/P

前n個(gè)月償還的總本金=(X-AP) /P

等額本金相關(guān)公式

設(shè)貸款總額為A,銀行月利率為P,還款總期數(shù)為M(個(gè)月)

第n個(gè)月的還款金額=A/M+P

第n個(gè)月月利息=P

前n個(gè)月總利息={貸款總額×n-月供本金×?}×貸款月利率

前n個(gè)月總利息= {nA- A/M }P

注意:上面的全是利率全部都是月利率,一般銀行給的都是年利率,需要轉(zhuǎn)化成月利率再帶入公式計(jì)算。