房貸中我們都會遇到等額本金，等額本息貸款這個(gè)問題，貸款方式選擇哪一個(gè)比較好，每個(gè)人的主觀感受都不一樣，我們先從數(shù)學(xué)的角度，來詳細(xì)的推導(dǎo)一下相關(guān)的公式。
首先要明白，一般銀行貸款在放貸之后次月開始讓購房者開始還貸款，銀行每個(gè)月從貸款者卡上扣除的金額都包含兩部分，一部分是一定數(shù)量的本金，一部分是一定數(shù)量的利息。
等額本息定義：等額本息是在還款期內(nèi)，每月償還同等數(shù)額的貸款。簡單說把還款期內(nèi)所要還的本金和利息都計(jì)算出來，然后平均數(shù)額到每個(gè)月里面。本金加利息的總和每個(gè)月都相同，銀行每個(gè)月都按照約定時(shí)間從貸款者的銀行卡上扣這個(gè)固定金額的錢。
等額本金定義：等額本金是在還款期內(nèi)把貸款本金總額等分，每月償還同等數(shù)額的本金和剩余貸款在該月所產(chǎn)生的利息。簡單的說就是每個(gè)月銀行從貸款者的卡上扣除的（應(yīng)償還的本金加利息之和）金額都是不一樣的，但是每個(gè)月償還的本金部分都是一樣的。
等額本息相關(guān)的公式
等額本息每期還款公式
推導(dǎo)方法一 光看剩余總本金
第一期還款時(shí)間是貸款放款之日，次月相同之日，所以包含了整個(gè)貸款本金一個(gè)月的利息，每期還款額都為X ，所以第一期還款完成之后剩余本金為：
第一期A（1＋P）-X
以此類推，
第二期（1＋P）-X＝A(1＋P)^2-X
第三期{(1＋P）-X}（1＋P）-X ＝A(1+P)^3-X
…
由此可得第n個(gè)月后所欠銀行貸款為
A(1+P)^n–X
這個(gè)也可以采用數(shù)學(xué)歸納法驗(yàn)證一下,結(jié)論是正確的。
由此可見中括號內(nèi)是一個(gè)首項(xiàng)a1為1，公比q為1+P的等比數(shù)列求和
公比q≠1，所以套用等比數(shù)列求和公式
Sn =a1（(q^n) -1）/( q-1),
第n個(gè)月后所欠銀行貸款簡化為A(1+P)^n–X/P
這里要注意: (1+P)^(n-1)是數(shù)列中的n項(xiàng),不要搞錯(cuò)了。
由于還款總期數(shù)為m，也即第m月剛好還完銀行所有貸款，因此有
A(1+P)^m–X/P=0
由此求得
X=AP(1+P)^m/
推導(dǎo)方法二 根據(jù)每月應(yīng)還利息、本金、剩余本金正推
來看另外一種方法，把每個(gè)月的利息，本金，剩余本金都用公式表達(dá)出來。設(shè)貸款額為A，月利率為P，還款月數(shù)為m，每月還款額為X
第一個(gè)月還款的利息AP
第一個(gè)月剩余本金A
第一個(gè)月償還本金X-AP
第二個(gè)月還款的利息
(A-X+AP)P
=AP-XP+AP^2
=AP(1+P)-XP
注意這里，我們要設(shè)法進(jìn)一步因式分解，進(jìn)一步提?。?+P），使用增項(xiàng)法，減去一個(gè)X再加上一個(gè)X得到
= AP(1+P)-XP-X+X,調(diào)整一下X的位置，得到
=AP(1+P)-X-XP+X
=AP(1+P)-X(1+P)+X
=(1+P)(AP-X) +X
第二個(gè)月償還本金
X-
=X-(1+P)(AP-X)–X
=-(1+P)(AP-X)
=(X-AP)(1+P)
第二個(gè)月剩余本金
A-(X-AP)-(X-AP)(1+P)
=A-(X-AP)
第三個(gè)月還款的利息
{A-(X-AP)}P
=P
=AP-(X-AP)(2P+P^2)增項(xiàng)得到
=AP-(X-AP)(2P+P^2)-X+X
=(AP-X)(1+2P+ P^2)+X
=(AP-X)(1+P)^2 +X
第三個(gè)月償還本金
=X-
= -(AP-X)(1+P)^2
=(X-AP)(1+P)^2
第三個(gè)月剩余本金
= A-(X-AP)-(X-AP)(1+P)-(X-AP)(1+P)^2
= A-(X-AP)
…
由此可以推斷：
第n個(gè)月當(dāng)月還款的利息
(AP-X)+X
第n個(gè)月當(dāng)月還款本金
(X-AP)
第n個(gè)月剩余總本金
A-(X-AP)后面括號是等比數(shù)列求和,(1+P)^( n-1)是數(shù)列的第n項(xiàng)。得到下面的結(jié)果
A-(X-AP) /P
順便驗(yàn)證一下最后一個(gè)月的剩余本金為0即n=m則
A-(X-AP) /P=0
AP=(X-AP)
AP=X- AP
AP+AP = X
X= AP+AP
X= AP{1+ }
最終得到
X=AP(1+P)^m/
與上面方法推導(dǎo)的結(jié)論完全相同。這些結(jié)論都可以用數(shù)學(xué)歸納法來驗(yàn)證。
前n個(gè)月償還的總利息為：
(AP-X)+X+(AP-X)(1+P)+X+(AP-X)(1+P) 2+X+…(AP-X)(1+P) n-1+X
=nX+(AP-X)/P
前n個(gè)月償還的總本金為：
總本金-剩余本金
A- {A-(X-AP) /P}
=(X-AP) /P
等額本金的相關(guān)公式推導(dǎo)就簡單多了
等額本金還款公式
設(shè)貸款總額為A，銀行月利率為P，總期數(shù)為M（個(gè)月），月還款額設(shè)為X，每月還款固定本金為B，
月供本金=貸款總額/總期數(shù) B=A/M
月還款=月供本金+月利息
月利息=（貸款總額-已還本金）×月利率
第一個(gè)月 已還本金=0 月利息=AP
第二個(gè)月 已還本金=B 月利息=(A-B)P
第三個(gè)月 已還本金=2B 月利息=(A-2B)P
第四個(gè)月 已還本金=3B 月利息=(A-3B)P
…
第n個(gè)月 已還本金=(n-1)B 月利息=P
第n個(gè)月還款額
X=B+P
X= A/M +P
第n個(gè)月月利息=P
支付總利息為：
=AP+(A-B)P+(A-2B)P+…P
= AP+AP-BP+AP-2BP+…AP-（n-1）BP
= AP+AP+…+AP-BP-2BP-…-（n-1）BP
=nAP- BP
后面括號里面是一個(gè)等差數(shù)列，求和得到
= nAP- BP
= {nA-B} P
= {nA- A/M }P
即總利息={貸款總額×n－月供本金×?}×貸款月利率
結(jié)論：
等額本息相關(guān)公式
設(shè)貸款總額為A，銀行月利率為P，總期數(shù)為m（個(gè)月），月還款額設(shè)為X。
每月還款本息總金額X=AP(1+P)^m/
第n個(gè)月當(dāng)月還款的利息=(AP-X)+X
第n個(gè)月當(dāng)月還款本金=(X-AP)
第n個(gè)月剩余總本金=A-(X-AP) /P
前n個(gè)月償還的總利息= nX+(AP-X)/P
前n個(gè)月償還的總本金=(X-AP) /P
等額本金相關(guān)公式
設(shè)貸款總額為A，銀行月利率為P，還款總期數(shù)為M（個(gè)月）
第n個(gè)月的還款金額=A/M+P
第n個(gè)月月利息=P
前n個(gè)月總利息={貸款總額×n－月供本金×?}×貸款月利率
前n個(gè)月總利息= {nA- A/M }P
注意：上面的全是利率全部都是月利率，一般銀行給的都是年利率，需要轉(zhuǎn)化成月利率再帶入公式計(jì)算。